امید ریاضی - گشتاور مرتبه‌ی nام

۸ شهریور ۱۳۹۹

در این مطلب بصورت خلاصه با مثال‌های کاربردی به شرح امید ریاضی - ممان مرتبه‌ی nام و کاربرد آنها خواهیم پرداخت.

امید ریاضی

برابر با حد متوسط یا به عبارتی میانگینی از احتمال رخ دادن یک متغیر تصادفی است.

E(X)=∑i=1nxiP(xi)E(X) = \sum^{n}_{i=1}x_iP(x_i)

گشتاورها

یا Moments

شاخص‌هایی هستند که خصوصیات توابع توزیع احتمال یا PDF ها را توصیف می‌کنند. فرمول زیر فرمول کلی محاسبه‌ی گشتاور kام است.

μn=E(X−μ)k=∑i=1n(xi−μ)kP(xi)\mu_n = E(X - \mu)^k = \sum^{n}_{i=1}(x_i-\mu)^{k}P(x_i)

گشتاور صفرم برای یک متغیر تصادفی، برابر با کل احتمال یا مقدار ۱ است. گشتاور اول بیانگر میانگین و گشتاور مرکزی دوم نیز واریانس (Variance) را مشخص می‌کند. گشتاورهای سوم و چهارم نیز متناسب با چولگی و کشیدگی توزیع احتمال متغیر تصادفی خواهند بود.

گشتاور اول: میانگین


Mean: 1st Raw Moment

E(X)=∑i=1nxiP(xi)E(X) = \sum^{n}_{i=1}x_iP(x_i)

گشتاور دوم: واریانس یا پراکندگی


Variance: 2nd Central Moment

variance=σ2=E(X−μ)2=∑i=1n(xi−μ)2P(xi)variance = \sigma^2 = E(X - \mu)^2 = \sum^{n}_{i=1}(x_i-\mu)^{2}P(x_i)

گشتاور سوم استاندارد شده: چولگی


Skewness: Standradized 3nd Central Moment

چولگی
skewness=E(X−μ)3σ3=∑i=1n(xi−μ)3P(xi)σ3skewness = \frac{E(X - \mu)^3}{\sigma^3} = \frac{\sum^{n}_{i=1}(x_i-\mu)^{3}P(x_i)}{\sigma^3}

گشتاور چهارم استاندارد شده: کشیدگی


Kurtosis: Standardized 4nd Central Moment

کشیدگی
skewness=E(X−μ)4σ4=∑i=1n(xi−μ)4P(xi)σ4skewness = \frac{E(X - \mu)^4}{\sigma^4} = \frac{\sum^{n}_{i=1}(x_i-\mu)^{4}P(x_i)}{\sigma^4}

فهرست مطالب « مفاهیم پایه آمار »

Berneti